2026 MCM Problem C: Data With The Stars

English Version | 中文版

队伍编号: 2622622 比赛成员: coconutball147、Aurora、Travor 比赛时间: 2026.01.30——2026.02.03

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项目概述

本项目是2026年美国大学生数学建模竞赛(MCM) Problem C的完整解决方案。我们分析了《与星共舞》(Dancing with the Stars, DWTS)节目34季的数据，研究评委评分与粉丝投票的结合机制，并设计了一套优化的投票系统。

核心贡献

1. 贝叶斯粉丝投票估计模型 - 利用MCMC采样从淘汰结果反推粉丝投票份额
2. 争议案例量化分析 - 识别并模拟15名争议选手在不同规则下的存活概率
3. 多模型特征分析 - LMM + XGBoost/SHAP + Cox生存分析三角验证
4. 动态权重优化系统 - Sigmoid函数 + Bottom-2混合机制

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问题背景

节目规则演变

DWTS节目中，明星与职业舞者搭档每周表演，评委打分(1-10分)与粉丝投票结合决定淘汰人选。历史上使用过三种计分方式：

时期	赛季	计分方式	特点
Era 1	S1-S2	排名法	评委分和粉丝票分别排名后相加
Era 2	S3-S27	百分比法	评委分百分比 + 粉丝票百分比
Era 3	S28+	Bottom-2法	综合得分最低两人由评委投票决定淘汰

经典争议案例

• Bobby Bones (S27): 评委分数始终垫底，却赢得冠军
• Jerry Rice (S2): 5周评委最低分，仍获得亚军
• Bristol Palin (S11): 12次评委最低分，最终获得季军
• Billy Ray Cyrus (S4): 6周评委最低分，排名第5

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目录结构

2026mcmC/
├── 2026_MCM_Problem_C_Data.csv    # 原始数据 (34季)
│
├── DataProcessed/                  # 数据预处理模块
│   ├── data_preprocessing.py       # 宽格式→长格式转换
│   ├── DWTS_Processed_Long.csv     # 处理后长格式数据
│   └── DWTS_Features.csv           # 特征工程数据
│
├── Q1/                             # 问题1: 贝叶斯粉丝投票估计
│   ├── bayesian_fan_vote_model.py  # 主模型控制器 (S3-S27)
│   ├── bayesian_s1s2_rank_model.py # S1-S2排名法专用模型
│   ├── bayesian_bottom2_model.py   # S28+ Bottom-2专用模型
│   ├── fan_vote_estimates.csv      # S3-S27粉丝份额估计
│   ├── fan_vote_s1s2_enhanced.csv  # S1-S2粉丝份额估计
│   ├── fan_vote_bottom2.csv        # S28+粉丝份额估计
│   └── elimination_validation.csv  # 一致性验证结果
│
├── Q2/                             # 问题2: 计分规则比较与争议分析
│   ├── find_controversial_cases.py # 争议选手识别算法
│   ├── analyze_judge_vs_fan_mechanism.py  # 评委vs粉丝机制对比
│   ├── compare_scoring_methods.py  # 排名法vs百分比法比较
│   ├── critical_fan_share_analysis.py     # 临界粉丝份额分析
│   ├── critical_fan_share_bottom2.py      # 含Bottom-2的临界分析
│   ├── visualize_controversial_heatmap_v3.py  # 反事实热力图
│   └── judge_vs_fan_comparison.csv # 机制对比结果
│
├── Q3/                             # 问题3: 名人特征与舞伴影响
│   ├── q3_lmm_xgboost_analysis.py  # LMM + XGBoost + SHAP
│   ├── q3_cox_survival_analysis.py # Cox比例风险模型
│   ├── q3_effect_difference_analysis.py  # Bootstrap效应差异检验
│   ├── q3_sensitivity_check.py     # 时间稳健性检验
│   ├── pro_partner_effects.csv     # 舞伴随机效应
│   └── pro_partner_survival.csv    # 舞伴生存统计
│
├── Q4/                             # 问题4: 最优投票系统设计
│   ├── q4_dynamic_weight_model.py  # Sigmoid动态权重模型
│   ├── q4_pareto_optimization.py   # 多目标Pareto优化
│   ├── q4_historical_validation.py # 历史案例验证
│   ├── q4_sensitivity_analysis.py  # 参数敏感性分析
│   └── sigmoid_grid_search.csv     # 网格搜索结果
│
├── SensitiveAnalyse/               # 敏感性分析汇总
│
├── Paper/                          # 论文LaTeX文件
│   ├── math_model_part2.tex        # 数学模型公式推导
│   ├── dwts_algorithm_pseudocode.tex  # 27个算法伪代码
│   ├── memo.tex                    # 1页制片人备忘录
│   └── ai_use_report.tex           # AI使用报告
│
└── README.md                       # 本文件

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核心方法论

Q1: 贝叶斯粉丝投票份额估计

数学建模

设第 $s$ 季第 $w$ 周有 $N$ 名选手，定义：

• $J_i$: 选手 $i$ 的评委总分 (已知)
• $\theta_i$: 选手 $i$ 的粉丝投票份额 (待估计)
• $E$: 被淘汰选手

粉丝份额满足单纯形约束： $$\sum_{i=1}^{N} \theta_i = 1, \quad \theta_i \geq 0$$

先验分布

• Era 1-2 (无信息先验): $\boldsymbol{\theta} \sim \text{Dirichlet}(\mathbf{1}_N)$
• Era 3 (信息先验): $\alpha_i = 0.5 + 5.0 \cdot \frac{r^J(i) - 1}{N - 1}$

似然函数 (软约束)

Era 1-2: 被淘汰者综合得分最低 $$\log \mathcal{L} = \sum_{k \neq E} \log \sigma(\lambda \cdot (S_k - S_E)), \quad \lambda = 100$$

Era 3 (Bottom-2): 被淘汰者在最后两名中 $$\log \mathcal{L} = -20 \cdot \max(0, \widehat{N_{\text{lower}}} - 1.3)^2$$

MCMC采样参数

参数	标准 (S3-S27)	增强 (S1-S2)	Bottom-2 (S28+)
采样次数	2000	5000	3000
预热次数	1000	2000	1500
链数	2	4	4
采样器	NUTS	Slice	Slice

验证指标

• 一致性率: 模型预测与实际淘汰结果一致的比例 (>95%)
• 收敛诊断: $\hat{R} < 1.05$, ESS > 400

S1-S2 排名法的建模技巧

原始规则：粉丝票数排名 → 第1名得N分，第2名得N-1分... → 与评委排名积分相加 → 最低者淘汰

建模难点：排名操作 rank() 是离散的、不可微的，MCMC 采样器需要连续梯度

简化策略：用连续的粉丝份额 $f_i$ 直接代替离散的排名积分

为什么合理？（单调性保证）

排名赋分本质是保序变换： $$f_i > f_j \Rightarrow \text{rank}(f_i) < \text{rank}(f_j) \Rightarrow \text{points}(f_i) > \text{points}(f_j)$$

因此，在"谁的总分最低"这一判断上：

• 原始规则: $\text{Total}_i = \text{rankPoints}(f_i) + j_i$
• 简化规则: $\text{Total}_i = f_i + j_i$ （归一化后）

两者的相对大小关系完全一致，推断出的粉丝份额分布等价。

示例：

f = [0.30, 0.31, 0.39]  →  排名 [3, 2, 1]  →  积分 [1, 2, 3]
f = [0.30, 0.32, 0.38]  →  排名 [3, 2, 1]  →  积分 [1, 2, 3]  (微小变化，排名不变)
f = [0.30, 0.35, 0.35]  →  排名 [3, 1.5, 1.5]  →  积分跳变！(采样器无法处理)

这是贝叶斯推断中常用的连续近似方法——保持排序关系不变，使 MCMC 采样可行。

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Q2: 计分规则比较与争议案例分析

争议选手识别算法

$$\text{Controversy Score} = \frac{W_{\text{bottom}}}{R_{\text{final}}} + \frac{W_{\text{bottom2}}}{2 \cdot R_{\text{final}}}$$

其中 $W_{\text{bottom}}$ 为评委最低分周数，$R_{\text{final}}$ 为最终排名。

反事实生存模拟

蒙特卡洛模拟 ($M = 10000$次)：

1. 从后验分布采样粉丝份额 $\tilde{f}_i \sim \mathcal{N}(\hat{f}_i, \sigma_i^2)$
2. 计算综合得分 $T_i = 0.5 \cdot J_i + 0.5 \cdot \tilde{f}_i$
3. 统计目标选手存活次数

核心发现

对比维度	排名法	百分比法	差异
被淘汰者平均粉丝份额	8.2%	11.5%	+3.3%
粉丝影响力	较低	较高	百分比法更利于粉丝
评委-粉丝机制相关性	-	-	r = -0.320

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Q3: 名人特征与舞伴影响分析

线性混合效应模型 (LMM)

$$y_{ig} = \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta} + u_g + \varepsilon_{ig}$$

• 固定效应: 年龄、行业、周次、赛季进度
• 随机效应: 舞伴 $u_g \sim \mathcal{N}(0, \sigma_u^2)$

组内相关系数 (ICC): $$\rho = \frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2 + \sigma^2}$$

目标变量	ICC	含义
评委分数	18.5%	舞伴解释18.5%的评委分方差
粉丝份额	7.0%	舞伴对粉丝影响较小

XGBoost + SHAP特征重要性

排名	评委分数驱动因素	粉丝投票驱动因素
1	周次 (Week)	行业 (Industry)
2	赛季进度	周次
3	年龄	年龄
4	行业	赛季进度

Cox比例风险模型

$$h(t|\mathbf{x}) = h_0(t) \exp(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x})$$

因素	风险比 (HR)	95% CI	解释
年龄 (+10岁)	1.15	[1.08, 1.23]	年龄越大，淘汰风险越高
运动员 vs 演员	0.82	[0.71, 0.95]	运动员淘汰风险较低
模特 vs 演员	1.34	[1.12, 1.60]	模特淘汰风险较高

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Q4: 最优投票系统设计

Sigmoid动态权重函数

$$w(t) = w_{\min} + \frac{w_{\max} - w_{\min}}{1 + \exp(-k \cdot t_{\text{norm}})}$$

其中 $t_{\text{norm}} = \frac{t - t_{\text{mid}}}{t_{\max}/4}$

最优参数 (网格搜索):

• $w_{\min} = 0.20$ (前期评委权重)
• $w_{\max} = 0.60$ (后期评委权重)
• $k = 1.90$ (变化速率)

多目标Pareto优化

三个目标函数：

1. 公平性 (Fairness): 淘汰者评委排名越低越好
2. 参与度 (Engagement): 粉丝投票对结果的边际影响
3. 避免惨案 (No-Robbery): 避免高分选手被淘汰

膝点分析: Kneedle算法确定最优权重 $w^* = 0.55$

推荐系统: 动态权重 + Week-7 Bottom-2

Early (Week 1-4):  w = 20-30%  → 保护"黑马"
Mid   (Week 5-6):  w = 35-45%  → 渐进过渡
Late  (Week 7+):   w = 50-60% + Bottom-2  → 确保冠军实力

给制片人的备忘录

基于以上分析，我们为 DWTS 节目制片人撰写了一份建议备忘录：

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运行环境

Python依赖

# 核心依赖
pip install numpy pandas scipy matplotlib seaborn

# 贝叶斯模型
pip install pymc arviz pytensor

# 统计建模
pip install statsmodels

# 机器学习
pip install xgboost shap scikit-learn

# 生存分析
pip install lifelines

完整安装

cd d:\2026mcmC
pip install -r requirements.txt

运行顺序

# 1. 数据预处理
python DataProcessed/data_preprocessing.py

# 2. Q1: 贝叶斯粉丝投票估计 (耗时较长)
python Q1/bayesian_s1s2_rank_model.py      # S1-S2
python Q1/bayesian_fan_vote_model.py       # S3-S27
python Q1/bayesian_bottom2_model.py        # S28+

# 3. Q2: 争议分析
python Q2/find_controversial_cases.py
python Q2/analyze_judge_vs_fan_mechanism.py

# 4. Q3: 特征分析
python Q3/q3_lmm_xgboost_analysis.py
python Q3/q3_cox_survival_analysis.py

# 5. Q4: 系统优化
python Q4/q4_pareto_optimization.py
python Q4/q4_dynamic_weight_model.py

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主要结论

1. 计分规则比较

规则	优点	缺点	推荐场景
排名法	简单直观	放大小差距	早期赛季
百分比法	粉丝影响力大	可能产生争议	中期赛季
Bottom-2	平衡性最好	增加复杂度	后期赛季

2. 推荐方案效果

指标	现行系统	推荐系统	改进
惨案率	42%	8%	-34%
粉丝参与度	基准	+22%	显著提升
公平性	基准	96%	大幅改善

3. 给制片人的建议

1. 保留百分比计分法 - 维持投票悬念和粉丝参与度
2. 采用动态评委权重 - 前期低(30%)保护黑马，后期高(60%)确保冠军
3. 从第7周启用Bottom-2 - 创造戏剧性同时防止极端结果
4. 考虑投票积分制 - 多次投票同一选手需消耗更多积分

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算法清单

本项目包含27个核心算法，详见 Paper/dwts_algorithm_pseudocode.tex:

编号	算法名称	所属问题
1	数据预处理	基础
2-5	贝叶斯MCMC模型	Q1
6-7	一致性/不确定性分析	Q1
8-12	计分规则比较与热力图	Q2
13-18	LMM/XGBoost/Cox分析	Q3
19-24	Pareto优化与动态权重	Q4
25-27	敏感性分析	验证

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文件说明

输入数据

文件	描述	记录数
2026_MCM_Problem_C_Data.csv	原始宽格式数据	424名选手

中间数据

文件	描述
DWTS_Processed_Long.csv	长格式 (每行=选手×周)
DWTS_Features.csv	特征工程后数据
fan_vote_*.csv	各时期粉丝份额估计

输出结果

文件	描述
*_comparison.csv	规则比较结果
pro_partner_effects.csv	舞伴效应
sigmoid_grid_search.csv	参数优化结果
*.png	可视化图片

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反思与改进

本次比赛的经验教训

1. 文档管理

• 问题: 论文各部分分散在多个 LaTeX 文件中，版本同步困难
• 改进:
  • 使用 Endnote 管理参考文献
  • 使用 腾讯文档 进行初稿协作编辑
  • 自建 Overleaf 社区版（虚拟机部署），实现 LaTeX 实时协作
  • 使用 GitHub 私有仓库 进行版本控制，支持分支管理和代码审查

2. 代码规范

• 问题: 初期代码使用相对路径，文件整理后路径失效
• 改进:
  • 所有 Python 文件统一使用 绝对路径 配置
  • 建议项目初期就建立 config.py 统一管理路径

3. 使用 Jupyter Notebook 改善代码框架

• 问题: 纯 Python 脚本调试周期长，数据探索和可视化需要反复运行整个程序
• 改进:
  • 分模块开发: 将数据加载、预处理、建模、可视化拆分为独立的 Notebook Cell，便于逐步调试
  • 交互式探索: 使用 Jupyter 的即时输出特性，快速查看中间变量和数据分布
  • 可视化调优: 在 Notebook 中实时调整图表参数（颜色、字体、布局），无需重跑整个脚本
  • Markdown 文档: 在代码旁添加说明文字和公式推导，形成自解释的分析报告
  • 版本管理: 配合 nbstripout 工具清理输出，避免 git diff 混乱
  • 环境隔离: 建议使用虚拟环境 + ipykernel 注册内核，确保依赖一致性

推荐工作流:

1. 新功能开发 → Jupyter Notebook 快速原型
2. 功能稳定后 → 提取核心逻辑到 .py 模块
3. 最终集成 → 主脚本调用模块，Notebook 保留探索记录

4. 模型验证

• 问题: MCMC 收敛诊断未在早期充分关注，导致部分结果需重跑
• 改进:
  • 建立标准化的收敛检查流程 ($\hat{R} < 1.05$, ESS > 400)
  • 使用 ArviZ 自动生成诊断报告

5. 时间分配

• 问题: 前期数据清洗耗时过多，后期优化模块时间紧张
• 改进:
  • 提前熟悉数据格式，准备通用预处理模板
  • 为每个问题预留充足的敏感性分析时间

6. 审题与模块划分

• 问题: 审题不仔细，将第三问的特征分析（名人特征对表现的影响）提前与第一问一起做
• 后果:
  • 循环论证风险：Q1 用淘汰结果推断粉丝份额，Q3 用粉丝份额分析特征影响，若混在一起容易出现"用结果推结果"
  • 论文结构混乱：方法论和结果的边界模糊，难以清晰表述
• 改进:
  • 开题前仔细通读所有子问题，理清数据流向和因果链条
  • 明确每个问题的输入和输出，避免跨问题依赖
  • 按问题顺序逐步推进，前一问的输出作为后一问的输入

未来可扩展方向

方向	描述	优先级
深度学习	使用 LSTM/Transformer 预测粉丝投票趋势	中
实时系统	构建投票结果实时监控仪表盘	低
A/B 测试框架	设计不同计分规则的对照实验	高
社交媒体分析	整合 Twitter/Instagram 情感数据	中

代码质量改进清单

• 统一使用绝对路径
• 添加详细中英文注释
• 创建 .gitignore 文件
• 添加单元测试 (pytest)
• 使用 requirements.txt 锁定依赖版本
• 添加类型注解 (typing)
• 使用 logging 替代 print 语句
• 将重复代码抽象为公共模块

AI 工具使用反思

本项目使用了 AI 辅助工具，详见 Paper/ai_use_report.tex：

有效使用场景:

• 代码调试与错误排查
• LaTeX 公式格式化
• 文档翻译与润色

需谨慎的场景:

• 核心算法设计（需人工验证正确性）
• 统计结论解读（AI 可能过度自信）
• 创新点提炼（需结合领域知识）

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写在最后

"I came, I divided, I conquered!"

四天四夜。窗外的月亮圆了又缺，屏幕前的咖啡凉了又热。

我们在数据的海洋里打捞真相，在公式的迷宫中寻找出口。有过凌晨三点的崩溃，也有过收敛成功时的欢呼。代码报错时互相甩锅，结果跑通时击掌相庆——这大概就是建模的浪漫。

"We are all in the gutter, but some of us are looking at the stars."

也许结果不尽如人意，但那又怎样？我们曾仰望同一片星空，追逐同一个目标。过程本身，就是意义。

"The journey is the reward."

Let's set a bit and flow!

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许可证

本项目仅用于2026 MCM学术竞赛目的。

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团队信息

• 队伍编号: 2622622
• 比赛: 2026 Mathematical Contest in Modeling (MCM)
• 题目: Problem C - Data With The Stars

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本README最后更新于2026年2月