信号与系统

写在前面

Signal——信号：表达传递==信息==的符号

目前，一般通过光或电的变化表示信息。
- 信息：用来消除不确定性的东西（香农《控制论》中的定义）
  - 信息量：概率越小，信息量越大。
    
    当b为2时，如果x发生的概率是1/2，则根据信息量I(x)计算得1，那么说明表示这个x发生或没发生，则只需要1个bit。一般应用时，b取2或e，取2用于bit，取e用于nat
  $$ I(x)=-\log_b(\mathbb{P}[x]) $$
  - 信息熵：用于度量随机变量的不确定性或者信息的平均度量。
    
    对连续随机变量，信息熵定义如下
    
    $$ H(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log_b(f(x)) dx $$ 对随机随机变量，信息熵定义如下
    
    $$ \begin{aligned} H(X) &= -\sum_{i=1}^{n} P(X=i) \log_b(P(X=i))\ &=\mathbb{E}[-\log_b(\mathbb{P}[x])] \end{aligned} $$
System——系统：

有输入有输出。

系统可以用一个函数或者运算来表示，信号与系统中将输入信号作为自变量，将输出信号作为因变量，函数表示系统输入输出的关系。其定义包括了系统的结构、性质，特性。

信号的分类

根据信号维度

一维信号（音频信号等）
二维信号（图像信号等）
三维信号（深度图等）
多维信号

根据自变量取值

连续信号**x(t)**

一定圆括号表示，其中$t\in R$。
离散信号**x[n]**

一定方括号表示，其中$n\in Z$。

根据周期性

周期信号

信号随时间变量t或者n的变化，具有重复性
- $x(t)=x(t+mT)$ 其中$(m\in Z)$
  
  $T$叫最小正周期
- $x[n]=x[n+mN]$ 其中$(m \in N)$
非周期信号

根据奇偶性

奇信号 (Odd Signal)

$x(t)=-x(-t)$ or $x[n]=-x[-n]$
偶信号 (Even Signal)

$x(t)=x(t) $ or $x[n]=-x[-n]$

==任何一个信号都可以拆解成奇信号和偶信号==（以连续信号为例） $$ x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\ x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\ x(t)=x_o(t)+x_e(t) $$

根据单位

假设$x(t)$为电压或者电流，则它在$1\Omega$的电阻上的瞬时功率为$p(t)=|x(t)|^2$，则在$t_1\leq t \leq t_2$内消耗的能量为$E=\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dx$

当$T=(t_2-t_1)\rightarrow\infty$时，总能量$E$和平均功率$P$的分别定义为

$E=\lim_\limits{T \to \infty}(\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dx)$

$P=\lim_\limits{T \to \infty}\frac{1}{T}(\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dx)$

在$n_1<n<n_2$内的离散时间信号的总能量和平均功率是

$E=\sum_\limits{n=n_1}^{n=n2}|x[n]|^2$

$P=\frac{1}{n_2-n_1+2}\sum_\limits{n=n_1}^{n=n2}|x[n]|^2$

在无穷大区间上$N=n_2-n_1$

$E_\infty=\lim_\limits{N \to \infty}\sum_\limits{n=n_1}^{n=n2}|x[n]|^2$

$P_\infty=\lim_\limits{N \to \infty}\frac{1}{2N+1}\sum_\limits{n=n_1}^{n=n2}|x[n]|^2$

功率信号（功率有限信号）

$x(t)$的功率满足：$0\le P \le \infty $ ，而$E=\infty$
能量信号（能量有限信号）

$x(t)$的满足：$0\le E \le \infty $ ，而$P=0$

基本信号

单位阶跃信号

连续时间单位阶跃信号写作$u(t)$，在跳变点$t=0$处无定义。$u(0)$可以等于任意值 $$ u(t) = \begin{cases} 0, & \text{if } t < 0 \ 1, & \text{if } t \geq 0 \end{cases} $$ 事实上，$t=0$时，$u(t)$可以为任意值

离散时间单位阶跃信号写作$u[n]$ $$ u[n] = \begin{cases} 0, & \text{if } n < 0 \ 1, & \text{if } n \geq 0 \end{cases} $$

冲激信号（奇异函数、冲激函数）

这只是一个理想化的数学模型。

用于表示一种物理现象，发生的时间短，而物理量取值又大 $$ u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(t) dt\ \ \delta(t)=\frac{d u(t)}{d t} $$ 由于$u(t)$在$t=0$处无定义，所以上述式子并不能作为定义式。但是必须满足 $$ \delta(t) =

\begin{cases} \infty, & \text{if } t = 0 \ 0, & \text{others} \end{cases}

\ \ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt=1 $$

冲击偶函数

$\delta'(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}$

$\mathop{lim} \limits_{t\rightarrow 0^+}\delta'(t)>0$

$\mathop{lim} \limits_{t\rightarrow 0^-}\delta'(t)>0$

冲激信号的性质

性质一 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt=1$

证明：

$\int_{a}^{b}f(t)dt=\begin{cases}{1}&{(a<0}&{b>0\text{时})}\{-1}&{(a>0}&{b<0\text{时})}\{0}&{\text{其他}}\ \end{cases}$ 证明：相当于正向、反向积分。因为$\triangle$是一个无穷小量，只要任意一个$variable$大于零，它就一定大于$\triangle$

性质二 $\int_{-\infty}^{+\infty}x\left(t\right)\delta\left(t\right)dt=x\left(0\right)$

证明如下：

性质一是性质二的特例理解第一条和第二条时，一定要从图像上去理解。$\delta_{\triangle}(t)$永远只是一个理想的模型，不要用微积分的性质去理解。

性质三 $x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)$

勒贝格定理(Lebesgue Theory)：两个函数$f_1(t)$与$f_2(t)$什么时候相等？

（中学定义）：若对任意的$\forall t_0\in R$，有$f_1(t)=f_2(t)$，则$f_1(t)=f_2(t)$。
若$f_1(t)$与$f_2(t)$只在有限个点上不相等，则$f_1(t)=f_2(t)$
（勒贝格定理）若两个函数$f_1(t)$和$f_2(t)$对任意函数$y(t)$ 恒有$\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)f_1(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)f_2(t)dt$成立。则$f_1(t)=f_2(t)$ （此处$y(t)$不能取奇异函数）

（可以推广至复数域）

特别地，根据勒贝格定理和性质2，可以推导出：

如果要证明一个函数$f(t)$是$\delta(t)$，只需要证明对任意函数$y(t)$有

$\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)f(t)dt=y(0)$

勒贝格积分

适用于黎曼积分的，毕必然适用于勒贝格积分，反之不然。

$\lambda(t)=\begin{cases}1 ~~~~\text{t为有理数}\ 0 ~~~~\text{t为无理数}\end{cases} $

$\int_0^1\lambda(t)dt \stackrel{勒贝格积分}\rightarrow 0$

(根据定义2和勒贝格积分可知，若$f_1(t)$和$f_2(t)$在可数个点上不等而其他点相等，则仍有$f_1(t)=f_2(t)$

证明如下

性质三的变种$x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)$

性质四 $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$

证明：

性质四的变种：

$\delta(at+b)=\frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a})$

性质五 $\delta(f(t))=\sum\limits_{\forall f(t_0)=0}\frac{1}{|f^{'}(t_0)|}\delta(t-t_0)$

性质4是性质五的特例

性质六 $\mathop{lim}\limits_{w\rightarrow+\infty}\frac{sin(wt)}{\pi t}=\delta(t)$

$w=10$

$w=100$

证明：

课后题：

证明 ==若$h_1(t)=h_2(t)$，则$x(t)\ast h_1(t)=x(t)\ast h_2(t)$==

证明：

关于可数：

无限集可以分为可数无限集（可数集）和不可数无限集（不可数集）。 Cator在1900年提出：自然数和偶数一样多。（真实性无法证明，只借鉴其思想。

证明：

关于可数：

无限集可以分为可数无限集（可数集）和不可数无限集（不可数集）。 Cator在1900年提出：自然数和偶数一样多。（真实性无法证明，只借鉴其思想。

求解$\delta(t^2-3t+2)$
求解$\int_{-2\pi}^{2\pi}(1+t)\delta(cost)dt$

$x(t)=e^{-bt}u(t)$ $h(t)=e^{-at}u(t)$求$x(t)\ast h(t)$
求解

抽样函数

连续时间抽样函数的定义 $$ S a(t)=\frac{\sin t}{t}\quad \or\ \quad\sin c(t)=\frac{\sin\pi t}{\pi t} \\\ \text{其中} Sa(t)= \begin{cases} 1 &, t=0\ \frac{sin(t)}{t} &, t \ne t \end{cases} \ \text{且}\ \int_{-\infty}^{\infty}Sa(t) dt=\pi \ \ \int_{0}^{\infty}Sa(t) dt=\int_{-\infty}^{0}Sa(t)dt=\frac{\pi}{2} $$

证明：

$$ \text{令} \hspace{5cm}\hspace{5cm} \ I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{sin(t)}{t}e^{-at}dt\ \text{对a求导}\hspace{5cm}\hspace{5cm} \ \frac{\delta{I(a)}}{\delta{a}}=-\int_{0}^{\infty}sin(t)e^{-at}dt\ \text{利用欧拉公式} \hspace{5cm}\hspace{5cm} \ \begin{cases} sin\theta&=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j} \ cos\theta&=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2} \ e^{j\theta}&=cos\theta+jsin\theta \end{cases} \ \text{代入得}\hspace{5cm}\hspace{5cm} \ \begin{align} \ \frac{\delta{I(a)}}{\delta{a}}&=\frac{1}{2j}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j)t}e^{-(a-j)t}dt\ &=\frac{1}{2j}[\frac{1}{a+j}-\frac{1}{a-j}]\ &=-\frac{1}{a^2+1}\

\ \text{所以}\hspace{5cm} \ I(a)&=-arctan(a)+C\ \ \text{当a=}+\infty \hspace{5cm}\ \ I(a)&=0\ \ I(+\infty)&=-arctan(+\infty)+C\ \ C&=\frac{\pi}{2}\ \ I(a)&=-arctan(a)+\frac{\pi}{2}\ \

I(0)&=\int_{0}^{\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\ &=\frac{\pi}{2} \end{align} $$

信号的自变量变换

变换步骤
- 化标准形式
- 前有负号反转
- 系数大于1压缩，系数小于1拉伸
- 加左减右

得出的结论： $$ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] $$

系统的基本性质

线性系统 Linear System

若$\forall x(t),a\in R ~~~~x(t)\stackrel{system}{\rightarrow}y(t)$ 恒有 $ ax(t)\stackrel{system}{\rightarrow}ay(t)$ 成立（齐次性）
若$\forall x_1(t),x_2(t) ~~~x_1(t)\stackrel{system}{\rightarrow}y_1(t)$，$ x_2(t)\stackrel{system}{\rightarrow}y_2(t)$ 恒有 $ x_1(t)+x_2(t)\stackrel{system}{\rightarrow}y_1(t)+y_2(t)$ 成立（叠加性）

==若一个系统同时满足齐次性和叠加性，则它是线性系统，否则是非线性系统。==

线性系统判据：==每一项都有x，且每一项的x都是一次==

例如$y(t)=3x(t)+2$就不是线性系统

时不变系统 Time-Invariant System

若$\forall x(t)\stackrel{system}{\rightarrow}y(t)$满足$\forall t_0\in R$ 恒有 $x(t-t_0)\stackrel{system}{\rightarrow}y(t-t_0)$ 成立，则称这个系统为时不变系统，否则为时变系统

==系统的输出不会随着时间的改变而改变==

时不变系统判据：==t只在x的括号里，t只能是t不能是其它。即t本身只能是一次且系数只能是1==

因果系统 Causal System

输出$y(t)$不能在输入$x(t)$之前发生

==非因果系统难以实现==

因果系统判据：==x括号里的数恒小于y括号里的数==

稳定系统 Stable System

$ x(t)\stackrel{system}{\rightarrow}y(t)$中，若$x(t)$是有界的，则$y(t)$有界的，那么这个系统就是稳定系统

连续积分器不稳定 $$ x(t)\equiv1\ y(t)=\int_{\infty}^{t}x(t)dt\equiv \infty $$
连续微分器不稳定 $$ x(t)= \begin{cases} t-1 ~~~~~ \text{t}\textless 0\ t+1 ~~~~~ \text{t}\textgreater 0 \end{cases} \ y=\frac{d x(t)}{dt}=not~exists $$
离散叠加器不稳定

$x[n]\leq M$有界，不妨设$x[n]\equiv1$ $$ x[n]\equiv1\ y[n]=\sum_\limits{k=-\infty}^{+\infty}x[k]=\infty $$
离散微分器稳定

$x[n]\leq M$有界，那么二者的差值也有界 $$ \begin{align} y[n]&=x[n]-x[n-1]\ |y[n]|&\leq | x[n]-x[n-1] |\ &\leq B

\end{align} $$

无记忆系统 Memoryless System

一个系统无记忆，则$y(t)$的值仅仅只依赖$x(t)$

无记忆系统判据：==x括号和y括号里的数完全一样==

无记忆系统一定是因果系统

可逆系统 Invertible System

$x(t)$能唯一写成$y(t)$的形式（相当于有反函数）

特别要注意的是，积分器可逆，微分器不可逆。

积分器可逆

由 $$ \begin{align} y[n]&=\sum_\limits{k=-\infty}^{n}x[k] \end{align} $$ 可推得 $$ x[n]=y[n]-y[n-1] $$
微分器不可逆

由 $$ y(t)=\frac{dx(t)}{dt} $$ 得 $$ x(t)=\int_{-\infty}^{t} y(t)dt+C $$ C为任意常数，无法由$y(t)$唯一推得$x(t)$故微分器不可逆。

系统	线性	时不变	无记忆	因果	稳定
$y(t)=e^{x(t)}$	F（不满足齐次性）	T	T	T	T
$y[n]=x[n]x[n-1]$	F（不满足齐次性）	T	F	T	T
$y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$	T	T	F（存疑）	F（存疑）	F

LTI系统时域分析

LTI系统全称：Linear Time-Invariant System（线性时不变系统），如果一个系统既线性又时不变，我们就叫它线性时不变系统（LTI系统）。所有线性都是相对的，都是对现实问题的近似。如果知道LTI系统的一个输入$x(t)$对应的$y(t)$，那么就可以知道这个LTI系统所有的输入$x(t)$对应的$y(t)$。

单位脉冲响应$h[n]$是一个系统对单位脉冲序列$\delta[n]$作为输入的相应，也成为记忆函数

$h[n]$是LTI系统的唯一标识

LTI卷积

卷积符号$\ast$。全称卷积积分

离散LTI系统卷积

$$ x[n]\ast h[h]=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k] $$

卷积计算的四步：

翻转、平移、相乘、求和

连续LTI系统卷积

将连续的信号$x(t)$分解为无数个$\delta(t)$的叠加，并且已知$\delta(t)$经过LTI系统后的输出$h(t)$，那么就可以通过微分的方式，求出$x(t)$经过LTI系统后的输出$y(t)$。

$\delta(t)$为冲激函数，是无限窄的方波。$\delta_{\triangle}(t)$是长度为$\triangle$、高度为$\frac{1}{\triangle}$的方波。

根据定义

$\mathop{lim}\limits_{\triangle\rightarrow0}\delta_{\triangle}(t)=\delta(t)$

在$\triangle \rightarrow0$时，

$\delta_{\triangle}(t) \rightarrow \infty$

$\delta_{\triangle}(t) \stackrel{LTI}{\rightarrow}h_{\triangle}(t)$

则

$\delta(t)=\mathop{lim}\limits_{\triangle\rightarrow0}\delta_{\triangle}(t)\stackrel{LTI}{\rightarrow}h(t)=\mathop{lim}\limits_{\triangle\rightarrow0}h_{\triangle}(t)$

假设右侧极限存在

宽度一致的方波是三角波
宽度不一致的方波卷积是梯形波

LTI卷积性质

首先:

$x^{(-1)}(t)=x(t)\ast u(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau$

$\nabla x[k]=x[k]-x[k-1]$

$\triangle x[k]=x[k+1]-x[k]$

$y(t)=x(t)\ast h(t)$

交换律 $x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$
结合律 $[x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)=x(t)\ast [h_1(t)\ast h_2(t)]$ 引理：两个LTI系统串联、并联，任然是LTI系统引理的证明：

结合律证明
分配律 $x(t)\ast[h_1(t)+h_2(t)]=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$ 积分（连续）、求和（离散）具有分配律即可得证
数乘结合律 $a[x(t)\ast h(t)]=ax(t)\ast h(t)=x(t)\ast ah(t)$
平移特性

若$y(t)=x(t)\ast h(t)$，则$x(t-t_0)\ast h(t-t_1)=y(t-t_1-t_2)$
微分特性（差分特性） $y'(t)=x'(t)\ast h(t)=x(t)\ast h'(t)$ 证明：
积分特性 $y^{(-1)}(t)=x^{(-1)}(t)\ast h(t)=x(t)\ast h^{(-1)}(t)$
等效特性 $y(t)=x^{(-1)}(t)\ast h'(t)=x'(t)\ast h^{(-1)}(t)$

此外

$x(t)\ast u(t)=x^{(-1)}(t)$ (积分器) $x[n]\ast u[n]=\sum\limits_{k=-\infty}^{n}x[n]$ (累加器)
$x(t)\ast \delta'(t)=x'(t)$ （微分器） $x[k]\ast \nabla\delta[k]=\nabla x[k]$ $x[k]\ast \triangle\delta[k]=\triangle x[k]$
$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta'(t)dt=-x'(0)$
$x(t)\ast h(t)=x(t+t_0)\ast h(t-t_0)$
$x(t)\ast \delta(t)=x(t)$ $x[k]\ast \delta[k]=x[k]$
$x(t)\ast \delta(t-t_0)=x(t-t_0)$ $x[k]\ast \delta[k-n]=x[k-n]$

LTI系统稳定性

LTI系统稳定的充要条件是

$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|\lt +\infty$ （有界）

或

$\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}|h[n]|<+\infty$ （有界）

LTI因果性

LTI系统的因果的充要条件是：

当$t<0$时，$h(t)=0$

连续信号与系统频域分析

背景：

当$t>0$时，求$f(x,t)$

傅里叶级数

其在复数表达下的形式为： $$ \begin{cases} x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}\ a_k=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(t)e^{-jkw_0t}dt \end{cases} $$

其中 $$ \begin{cases} B_0=a_0~~~~~~~k=0\ B_k=a_{-k}+a_{k}~~~~~~k\ne0 \ C_k=j(a_k-a_{-k}) \end{cases} $$ 可推得：（推导用欧拉公式$e^{j\theta}=cos\theta +jsin\theta$） $$ \begin{cases} a_0=B_0\ a_k=\frac{1}{2}(B_k-jC_k)\ a_{-k}=\frac{1}{2}(B_k+jC_k) \end{cases} $$

狄利赫里收敛条件证明

$x(t)$一个周期内绝对可积 $\int_0^{T_0}|x(t)|dt<+\infty$
$x(t)$一个周期最值个数有限
$x(t)$一个周期内有有限个不连续点

$x(t)$满足上述三个条件时，可以写成$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}$的形式

信号的正交分解

内积运算(Inner Product)和正交函数族

若函数族${e_i(t)}{i\in[1,+\infty)}$满足：$\forall k有<e_k,e_k>~>0$ 且 $\forall k_1\ne k_2有 <e{k_1},e_{k_2}>=0$，则称${e_i(t)}_{i\in[1,+\infty)}$是正交函数族。

信号分解

标准正交基函数(Orthonoral Basis Function)

若函数族${e_i(t)}_{i\in[1,+\infty)}$满足

$\forall k,<e_k,e_k>=1$
$\forall k_1\ne k_2,<e_{k_1},e_{k_2}>$

讲正交基变为标准正交基的过程为标准化

施密特正交化

####其他的正交基

1905年Haar创造Haar小波（wavelet）
勒让德多项式 $P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n[(x^2-1)^n]}{dx^2}$

性质： $\int_{-1}^{1}[P_n(x)]^2dx=\frac{2}{2n+1}$

$\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx=0$ ($m\ne n $)时用勒让德多项式表示$[-1,1]$函数$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{=\infty}a_kP_k(x)$

其中$a_k=\frac{<f(x),P_k(x)>}{<P_k(x),P_k(x)>}$
PCA（Principal Component Analysis）主成分分析

图像领域中，将一个图像经常表示为$<m,n,channels>$三元组，即大小$m\times n \times c$的Tensor。RGB中，$c=3$

PCA的核心是，从一大堆数据中，自动训练出一组正交基。

假设共有N个人脸

其中$A_0=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}X_i$是平均脸。

并且满足$<A_i,A_j>=\sum\limits_{u=1}^{M}\sum\limits_{v=1}^{N}\sum\limits_{c=1}^{3}A_i(u,v,c)\overline{A_j(u,v,c)}=0$

则可以把任意一个人脸$X$表示为$X=a_0A_0+a_1A_1+a_2A_2+...$

其中$a_k=\frac{<X,A_k>}{<A_k,A_k>}$

傅里叶变换

傅里叶级数针对周期函数。可将非周期函数的周期$T_0$视为无穷大。

将傅里叶级数从周期函数推广到非周期函数：

典型信号的傅里叶变换

$t^ne^{-at}u(t)\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{n!}{(a+jw)^{n+1}}$

类似于$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin(wt)}{?}d?$时：积$t$注意$w$，积$w$注意$t$

$sinw_0t$和$cosw_0t$的证明用到了时移特性

傅里叶变换的性质

线性性质

若$x_1(t)+x_2(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x_1(jw)+x_2(jw)$，则$ax_1(t)+bx_2(t)\stackrel{F}{\rightarrow}ax_1(jw)+bx_2(jw)$

可由积分的性质得证

时移性质

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$x(t-t_0)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)e^{-jwt_0}$

频移性质

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$x(t)e^{jw_0t}\stackrel{F}{\rightarrow}x(j(w-w_0))$

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$x(t)cos(w_0t)\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{1}{2}{x[j(w-w_0)]+x[j(w+w_0)]}$ 且 $x(t)cos(w_0t)\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{1}{2j}{x[j(w-w_0)]-x[j(w+w_0)]}$

微分特性

时域微分性

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$\frac{dx(t)}{dt}\stackrel{F}{\rightarrow}jwx(jw)$

频域微分性

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$tx(t)\stackrel{F}{\rightarrow}j\frac{dx(jw)}{dw}$

时域卷积性质

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$,$h(t)\stackrel{F}{\rightarrow}H(jw)$，则$x(t)\ast h(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)H(jw)$

时域卷积的傅里叶变换等于各自频域相乘

对于一个LTI系统，知道其在任何一个时刻$t_0$的==不为零的输入==与对应的输出，那么可以知道它在任何时刻对应的输入与输出。

积分性质

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$,$h(t)\stackrel{F}{\rightarrow}H(jw)$，则$\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{x(jw)}{jw}+\pi x(j0)\delta(w)$

左侧为$x(t)\ast u(t)$即可得证

调制性质

若$x_1(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x_1(jw)$, $x_2(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x_2(jw)$，则$x_1(t)x_2(t)\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{1}{2\pi}x_1(jw)\ast x_2(jw)$

时域扩展（尺度变换）

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$x(at)\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{1}{|a|}x(j\frac{w}{a})$

（换元法得证）

时域胖代表频域瘦。时域瘦代表频域胖

对偶性质

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}X(jw)$，则$X(t)\stackrel{F}{\rightarrow}2\pi x(-w)$

帕斯瓦尔定理

若$x(t)\stackrel{F}{\rightarrow}x(jw)$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt\stackrel{F}{\rightarrow}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|x(jw)|^2dw$

即傅里叶变换满足能量守恒

共轭性和共轭对称性

$实偶\stackrel{F}{\rightarrow}实偶$ 如果$x(t)$是关于$t$的实偶函数，则$X(jw)$是关于$w$的实偶函数（只有cos分量）

$实奇\stackrel{F}{\rightarrow}虚奇$ 如果$x(t)$是关于$t$的实偶函数，则$X(jw)$是关于w的纯虚奇函数（只有sin分量）

若$x(t)$是实函数，则$x(jw)$实部偶函数、虚部奇函数

若$x(t)$是实函数，设$x(jw)=|x(jw)|e^{j\theta(w)}$中，幅度谱$|x(jw)|$为偶函数，相位谱$\theta(w)$为奇函数

系统函数$H(jw)$

调制与解调

调制（Modulation），解调（De-Modulation）。

通信系统传输某个信号$x(t)$时

调制：发送端进行调制$y(t)=x(t)cos(w_ct)$，其中$w_c$为载波（Carrier Wave）。
解调：接收端进行解调$w(t)=y(t)cos(w_c t)=x(t)cos^2(w_ct)$

则$W(jw)=\frac{1}{2\pi}Y(jw)\ast F(cos(w_ct))$

得到$W(jw)$后，将$W(jw)$经过一个低通滤波器，再进行$F^{-1}$，即可得到$x(t)$。

(并且低通滤波器的高度应该为2，且低通滤波器的截止频率应该满足$w_0\lt w_p \lt 2w_c-w_0 $）

假设在同一个信道中传输两个信号$x_1(t)$和$x_2(t)$

理想低通滤波器

理想低通滤波器有一定的缺点

非因果（无法实现实时系统）
年轮效应理想低通滤波器会把陡峭上升沿信号转换成逐渐衰减的年轮传递至无穷远
阶跃响应

Butterworth滤波器

二维信号的傅里叶变换和反变换

通过傅里叶变换计算傅里叶级数

连续时间周期信号的傅里叶变换

离散信号与系统频域分析